Los representantes más simples de las funciones de Legendre asociadas son los polinomios de Legendre, que son funciones de orden cero: p n ( μ ) = p n 0 ( μ ) .
¿Cómo se encuentra un polinomio de Legendre?
d2a. dx2.
− 2x. dy.
n > 0, |x| < 1. o equivalente.
(1 − x2) día.
n > 0, |x| < 1. Las soluciones de esta ecuación se denominan funciones de Legendre de orden n.
|x| < 1.
Si n = 0, 1, 2, 3,... las funciones Pn(x) se denominan Polinomios de Legendre o de orden ny vienen dadas por la fórmula de Rodrigue.
Pn(x) = ¿Cuál es la fórmula de Rodrigues para el polinomio de Legendre? Recuerde la fórmula de Rodrigues para los polinomios de Legendre (13.78): (14.72) d ℓ dx ℓ ( x 2 - 1 ) ℓ . ¿Qué es la ecuación diferencial de Legendre? Dado que la ecuación diferencial de Legendre es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, tiene dos soluciones linealmente independientes. Una solución que es regular en puntos finitos se llama función de Legendre de primera clase, mientras que una solución que es singular en se llama función de Legendre de segunda clase. ¿Cuál es el polinomio de grado de Legendre? Son soluciones a una ecuación diferencial muy importante, la ecuación de Legendre: Los polinomios se pueden denotar por Pn(x), llamado polinomio de Legendre de orden n. Los polinomios son funciones pares o impares de x para órdenes pares o impares de n. Los primeros polinomios se muestran a continuación. ¿Qué quieres decir con polinomio de Legendre? En ciencias físicas y matemáticas, los polinomios de Legendre (llamados así por Adrien-Marie Legendre, quien los descubrió en 1782) son un sistema de polinomios completos y ortogonales, con un gran número de propiedades matemáticas y numerosas aplicaciones. ¿Están normalizados los polinomios de Legendre? Funciones de Legendre Pn(x) La solución general de esta ecuación diferencial, prescindiendo de las soluciones con n negativa, viene dada por: En esta expresión, la constante Kn es arbitraria. Normalmente, el polinomio de Legendre se normaliza imponiendo que Pn (1) = 1. ¿Cómo se resuelve una ecuación de Legendre? Cuando α ∈ Z+, la ecuación tiene soluciones polinómicas llamadas polinomios de Legendre. De hecho, estos son los mismos polinomios que se encontraron anteriormente en relación con el proceso de Gram-Schmidt. [(x2 − 1)y ] = α(α + 1)y, que tiene la forma T(y) = λy, donde T(f )=(pf ) , con p(x) = x2 − 1 y λ = α(α + 1). ¿Qué es la ecuación diferencial de Hermite? donde es una constante se conoce como ecuación diferencial de Hermite. Cuando es un. entero impar, es decir, cuando = 2 + 1; = 0,1,2 … …. entonces una de las soluciones de. la ecuación (1) se convierte en un polinomio. ¿Qué es la ecuación lineal en la ecuación diferencial? Lineal solo significa que la variable en una ecuación aparece solo con una potencia de uno. En una ecuación diferencial, cuando las variables y sus derivadas solo se multiplican por constantes, entonces la ecuación es lineal. Las variables y sus derivadas siempre deben aparecer como una primera potencia simple. ¿Qué es la función generadora del polinomio de Legendre? Los polinomios de Legendre pueden ser dados alternativamente por la función generadora ( 1 − 2 x z + z 2 ) − 1 / 2 = ∑ n = 0 ∞ P n ( x ) z n , pero existen otras funciones generadoras. ¿Cómo se usa la fórmula de rotación de Rodrigues? nos da la matriz de rotación. Esta fórmula se conoce como fórmula de Rodrigues. Considere R=eAb luego, mediante un poco de álgebra basada en A =- En tenemos, R-Rt = 2Acos( b ) Usando esto y resolviendo para un eje unitario, y un ángulo, podemos recuperar el eje (hasta un factor de +/ -1) y ángulo hasta un factor de +/- 2pi. ¿Son los polinomios de Legendre linealmente independientes? Cualquier polinomio de grado m se puede representar como una combinación lineal de polinomios de Legendre de grado m como máximo. Muestre que los polinomios legendarios de grado ≤ n son linealmente independientes y, por lo tanto, forman una base para todos los polinomios de grado ≤ n. ¿Qué es la propiedad ortogonal del polinomio de Legendre? Resumen Damos una notable propiedad adicional de otogonalidad de los polinomios clásicos de Legendre en el intervalo real [−1, 1]: los polinomios hasta el grado n de esta familia son mutuamente ortogonales bajo la medida del arcoseno ponderada por la función de Christoffel de grado n normalizada . ¿Qué es un hermita? Hermita. Hermite es un cráter de impacto lunar ubicado a lo largo del limbo lunar norte, cerca del polo norte de la Luna. ¿Cómo se escribe un polinomio de Hermite? Polinomios de HermiteH n ( x ) = n ! ∑ k = 0 ⌊ norte / 2 ⌋ ( - 1 ) k ( 2 X ) norte - 2 k k ! ( norte - 2 k ) ! Los polinomios de Hermite son relevantes para el análisis del oscilador armónico cuántico, y los operadores de reducción y elevación allí corresponden a la creación y aniquilación. ¿Qué es la ecuación de onda de Helmholtz? La ecuación de Helmholtz, llamada así por Hermann von Helmholtz, es la ecuación diferencial parcial lineal. Donde es el laplaciano, es la amplitud y es el número de onda. La ecuación diferencial de Helmholtz se puede resolver mediante la separación de variables en solo 11 sistemas de coordenadas. ¿Por qué usamos las ecuaciones de Legendre? Por ejemplo, los polinomios de Legendre y Associate Legendre se utilizan ampliamente en la determinación de funciones de onda de electrones en las órbitas de un átomo [3], [4] y en la determinación de funciones potenciales en la geometría esféricamente simétrica [5], etc. ¿Por qué son importantes los polinomios ortogonales? Así como las series de Fourier brindan un método conveniente para expandir una función periódica en una serie de términos linealmente independientes, los polinomios ortogonales brindan una forma natural de resolver, expandir e interpretar soluciones para muchos tipos de ecuaciones diferenciales importantes. ¿El polinomio de Jacobi es ortogonal en el intervalo 1 1 )?
En caso afirmativo, pruébelo y escriba la función de peso. (x) son una clase de polinomios ortogonales clásicos. Son ortogonales con respecto al peso (1 − x)α(1 + x)β en el intervalo [−1, 1]. ¿Por qué usamos las soluciones Series? En matemáticas, el método de series de potencias se utiliza para buscar una solución de series de potencias para ciertas ecuaciones diferenciales. En general, tal solución asume una serie de potencias con coeficientes desconocidos, luego sustituye esa solución en la ecuación diferencial para encontrar una relación de recurrencia para los coeficientes. ¿La ecuación diferencial de Legendre es lineal? Esta es una ecuación lineal de segundo orden con tres puntos singulares regulares (en 1, −1 y ∞). Como todas esas ecuaciones, se puede convertir en una ecuación diferencial hipergeométrica mediante un cambio de variable, y sus soluciones se pueden expresar mediante funciones hipergeométricas.