El primer teorema que Pugh demuestra una vez que define la integral de Riemann es que la integrabilidad implica acotación. Este es el Teorema 15 en la página 155 de mi edición. Esto demuestra que primero hay que ponerse de acuerdo sobre las definiciones.
¿El integrable de Riemann implica acotado?
Teorema 4. Toda función integrable de Riemann está acotada.
¿Las funciones no acotadas son integrables?
Una función ilimitada no es integrable de Riemann. A continuación, “integrable” significará “integrable de Riemann” e “integral” significará “integral de Riemann” a menos que se indique explícitamente lo contrario. f(x) = { 1/x si 0 < x ≤ 1, 0 si x = 0. por lo que las sumas superiores de Riemann de f no están bien definidas. ¿Está acotada una función integrable de Lebesgue? Las funciones medibles que están acotadas son equivalentes a las funciones integrables de Lebesgue. Si f es una función acotada definida en un conjunto medible E con medida finita. Entonces f es medible si y sólo si f es integrable según Lebesgue. Por otro lado, las funciones medibles son "casi" continuas. ¿Cómo saber si una función es integrable de Lebesgue? Si f, g son funciones tales que f = g casi en todas partes, entonces f es integrable de Lebesgue si y solo si g es integrable de Lebesgue, y las integrales de f y g son las mismas si existen. ¿Qué funciones no son integrables de Lebesgue? La función 1/x en R (definida arbitrariamente en 0) es medible pero no integrable según Lebesgue. En general, una función es integrable de Lebesgue si y solo si tanto la parte positiva como la parte negativa de la función tienen una integral de Lebesgue finita, lo que no es cierto para 1/x. ¿Qué tipo de funciones no son integrables? Los ejemplos más simples de funciones no integrables son: en el intervalo [0, b]; y en cualquier intervalo que contenga 0. Estos son intrínsecamente no integrables, porque el área que representaría su integral es infinita. Hay otros también, para los cuales la integrabilidad falla porque el integrando salta demasiado. ¿Cómo saber si una función no es integrable? Si una función es continua en un intervalo dado, es integrable en ese intervalo. Además, si una función tiene solo un número finito de discontinuidades en un intervalo dado, también es integrable en ese intervalo. Sea la función y=|x| , ahora contiene un punto agudo en x= 0, por lo que la función no es derivable en x=0. ¿Cómo se prueba integrable? Se pueden probar todas las propiedades de la integral que son familiares del cálculo. Por ejemplo, si una función f:[a,b]→R es Riemann integrable en el intervalo [a,c] y también en el intervalo [c,b], entonces es integrable en todo el intervalo [a,b] y uno tiene ∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx. ¿Toda función integrable está acotada? No todas las funciones acotadas son integrables. Por ejemplo, la función f(x)=1 si x es racional y 0 de lo contrario no es integrable en ningún intervalo [a, b] (Marque esto). ¿Toda función continua es integrable? Las funciones continuas son integrables, pero la continuidad no es una condición necesaria para la integrabilidad. Como ilustra el siguiente teorema, las funciones con discontinuidades de salto también pueden ser integrables. ¿Qué significa que una función sea integrable en un intervalo cerrado? En términos prácticos, la integrabilidad depende de la continuidad: si una función es continua en un intervalo dado, es integrable en ese intervalo. Por ejemplo, la función y = |x| contiene un punto agudo en x = 0, por lo que la función no es diferenciable en este punto. Sin embargo, la misma función es integrable para todos los valores de x. ¿Qué representa c en una antiderivada? La notación utilizada para representar todas las antiderivadas de una función f( x) es el símbolo de integral indefinida escrito , donde . La función de f(x) se llama integrando, y C se conoce como la constante de integración. ¿Por qué son tan importantes los dos teoremas fundamentales del cálculo? Hay una razón por la que se llama el Teorema Fundamental del Cálculo. No solo establece una relación entre integración y diferenciación, sino que también garantiza que toda función integrable tiene una antiderivada. Específicamente, garantiza que cualquier función continua tenga una antiderivada. ¿Es una función integrable? En matemáticas, una función absolutamente integrable es una función cuyo valor absoluto es integrable, lo que significa que la integral del valor absoluto en todo el dominio es finita. , de modo que, de hecho, "absolutamente integrable" significa lo mismo que "Lebesgue integrable" para funciones medibles. ¿Qué significa no integrable? Una función no integrable es aquella en la que no se le puede asignar un valor a la integral definida. Por ejemplo, la función de Dirichlet no es integrable. Simplemente no puedes asignarle un número a esa integral. ¿Cuándo no se puede integrar una función? ¿O quieres decir que la integral definida no existe? Algunas funciones, como sin(x2), tienen antiderivadas que no tienen fórmulas simples que involucren un número finito de funciones a las que estás acostumbrado de precálculo (tienen antiderivadas, simplemente no tienen fórmulas simples para ellas). ¿Cuál es el significado de integrabilidad? : funciones integrables susceptibles de ser integradas. ¿Es integrable la función de Dirichlet? La función de Dirichlet es Lebesgue-integrable en R y su integral en R es cero porque es cero excepto en el conjunto de números racionales que es insignificante (para la medida de Lebesgue). ¿Todas las derivadas son integrables? La derivada V ′ está acotada en todas partes. La derivada no es Riemann integrable. ¿Todas las funciones de Lebesgue son integrables? Toda función continua f ∈ C[a, b] es integrable de Riemann. f(x)dx = yo(f) = yo(f). f(x)dx. En cálculo elemental, se introducen varias integrales de Riemann "impropias" para relajar los dos requisitos (dominio compacto, acotación). ¿Qué funciones son integrables de Lebesgue? Ahora la Proposición 9 se puede parafrasear como 'Una función f : R −→ C es integrable de Lebesgue si y solo si es la suma puntual a.e. de una serie absolutamente sumable en Cc(R). ' Sumable aquí recuerda que significa integrable. ¿Todas las funciones continuas de Lebesgue son integrables? Toda función continua es integrable de Riemann, y toda función integrable de Riemann es integrable de Lebesgue, por lo que la respuesta es no, no existen tales ejemplos. ¿Qué te dice una antiderivada? Una antiderivada es una función que invierte lo que hace la derivada. Una función tiene muchas antiderivadas, pero todas toman la forma de una función más una constante arbitraria. Las antiderivadas son una parte clave de las integrales indefinidas. ¿Qué es C en integrales? La notación utilizada para representar todas las antiderivadas de una función f( x) es el símbolo de integral indefinida escrito , donde . La función de f(x) se llama integrando, y C se conoce como la constante de integración.