La segunda derivada se puede usar para determinar los extremos locales de una función bajo ciertas condiciones. Si una función tiene un punto crítico para el cual f′(x) = 0 y la segunda derivada es positiva en este punto, entonces f tiene aquí un mínimo local. Esta técnica se llama Prueba de la Segunda Derivada para Local Extrema.
¿Cómo funciona el criterio de la segunda derivada?
Para usar la prueba de la segunda derivada, verificamos la concavidad de f en los números críticos. Vemos que en x=0, x<1 entonces f es cóncava allí. Así tenemos un máximo local en x=0. En x=2, dado que x>1 f es cóncava allí arriba, entonces tenemos un mínimo local en x=2.
¿Qué es la regla de la segunda derivada?
Si la segunda derivada es positiva en un intervalo, lo que indica que el cambio de la pendiente de la recta tangente es creciente, la gráfica es cóncava hacia arriba en ese intervalo. PRUEBA DE CONCAVIDAD: Si f ”(x) < 0 en un intervalo, entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en este intervalo. ¿Por qué falla la prueba de la segunda derivada? Si f (x0) = 0, la prueba falla y hay que investigar más, tomando más derivadas u obteniendo más información sobre la gráfica. Además de ser un máximo o un mínimo, tal punto también podría ser un punto de inflexión horizontal. ¿Qué te dice la segunda derivada? La segunda derivada mide la tasa de cambio instantánea de la primera derivada. El signo de la segunda derivada nos dice si la pendiente de la recta tangente a f es creciente o decreciente. En otras palabras, la segunda derivada nos dice la tasa de cambio de la tasa de cambio de la función original. ¿Es siempre verdadera la prueba de la segunda derivada? Casos no concluyentes y casos concluyentes La prueba de la segunda derivada nunca puede establecer esto de manera concluyente. Solo puede establecer de manera concluyente resultados afirmativos sobre los extremos locales. ¿Por qué es importante la segunda derivada? La derivada nos dice si la función original es creciente o decreciente. Como f′ es una función, podemos obtener su derivada. La segunda derivada nos da una forma matemática de saber cómo se curva la gráfica de una función. La segunda derivada nos dice si la función original es cóncava hacia arriba o hacia abajo. ¿Qué pasa si la prueba de la segunda derivada es 0? Dado que la segunda derivada es cero, la función no es cóncava hacia arriba ni cóncava hacia abajo en x = 0. Todavía podría ser un máximo local o un mínimo local e incluso podría ser un punto de inflexión. Probemos para ver si es un punto de inflexión. Necesitamos verificar que la concavidad es diferente en cualquier lado de x = 0. ¿Cómo saber si la segunda derivada es positiva o negativa? La segunda derivada indica si la curva es cóncava hacia arriba o hacia abajo en ese punto. Si la segunda derivada es positiva en un punto, la gráfica se dobla hacia arriba en ese punto. De manera similar, si la segunda derivada es negativa, el gráfico es cóncavo hacia abajo. ¿Cuál es la diferencia entre el criterio de la primera y la segunda derivada? La mayor diferencia es que la prueba de la primera derivada siempre determina si una función tiene un máximo local, un mínimo local o ninguno; sin embargo, la prueba de la segunda derivada no llega a una conclusión cuando y'' es cero en un valor crítico. ¿Qué sucede cuando la segunda derivada es positiva? La segunda derivada positiva en x nos dice que la derivada de f(x) es creciente en ese punto y, gráficamente, que la curva de la gráfica es cóncava hacia arriba en ese punto. Entonces, si x es un punto crítico de f(x) y la segunda derivada de f(x) es positiva, entonces x es un mínimo local de f(x). ¿Qué es la regla de la primera derivada? La primera derivada de un punto es la pendiente de la recta tangente en ese punto. Cuando la pendiente de la recta tangente es 0, el punto es un mínimo local o un máximo local. Así, cuando la primera derivada de un punto es 0, el punto es la ubicación de un mínimo o máximo local. ¿Cuántas reglas de derivadas hay? Sin embargo, hay tres reglas muy importantes que son de aplicación general y que dependen de la estructura de la función que estemos diferenciando. Estas son las reglas del producto, del cociente y de la cadena, así que esté atento a ellas. ¿La primera derivada es la velocidad? Su velocidad es la primera derivada de su posición. Si una función da la posición de algo en función del tiempo, la primera derivada da su velocidad y la segunda derivada da su aceleración. Entonces, diferencia la posición para obtener la velocidad, y diferencia la velocidad para obtener la aceleración. ¿Para qué sirve el criterio de la primera derivada? La prueba de la primera derivada es el proceso de analizar funciones usando sus primeras derivadas para encontrar su punto extremo. Esto implica varios pasos, por lo que debemos desempaquetar este proceso de una manera que ayude a evitar omisiones o errores dañinos. ¿Qué pasa si la prueba de la segunda derivada no es concluyente? Si todos los valores propios son negativos, entonces x es un máximo local, y si algunos son positivos y otros negativos, entonces el punto es un punto silla. Si la matriz hessiana es singular, entonces la prueba de la segunda derivada no es concluyente. ¿Cuál es la segunda derivada cuando la primera derivada es cero? La segunda derivada es cero (f (x) = 0): Cuando la segunda derivada es cero, corresponde a un posible punto de inflexión. Si la segunda derivada cambia de signo alrededor del cero (de positivo a negativo o de negativo a positivo), entonces el punto es un punto de inflexión. ¿Por qué la segunda derivada determina la concavidad? 5 respuestas. La segunda derivada te dice cómo está cambiando la pendiente de la recta tangente a la gráfica. Si te mueves de izquierda a derecha y la pendiente de la línea tangente aumenta y la segunda derivada es positiva, entonces la línea tangente gira en sentido contrario a las agujas del reloj. Eso hace que la gráfica sea cóncava hacia arriba. ¿Cómo se encuentra el mínimo y la segunda derivada? Haga f ' (x) = 0 y resuelva para x. Introduzca su(s) solución(es) del paso 2 en f ' ' (x) y use las reglas establecidas en la prueba de la segunda derivada para determinar si hay un punto máximo o mínimo en estos valores. Reemplace los mismos valores en f(x) para encontrar el valor real de los máximos o mínimos relativos. ¿Cómo saber si una derivada es máxima o mínima? la gráfica de su derivada f'(x) pasa por el eje x (es igual a cero). Si la función va de creciente a decreciente, entonces ese punto es un máximo local. Si la función va decreciente a creciente, entonces ese punto es un mínimo local. ¿Cómo usas la prueba de la segunda derivada para clasificar los puntos críticos? Entonces, para usar la prueba de la segunda derivada, primero debe calcular los números críticos, luego conectar esos números en la segunda derivada y observar si sus resultados son positivos, negativos o cero. Luego, establece la primera derivada igual a cero y resuelve para x. ¿Cómo se clasifican los puntos críticos? Clasificación de puntos críticos Los puntos críticos son lugares donde ∇f=0 o ∇f no existe. Los puntos críticos son donde el plano tangente a z=f(x,y) es horizontal o no existe. Todos los extremos locales son puntos críticos. No todos los puntos críticos son extremos locales. A menudo, son puntos de silla. ¿El máximo es negativo o positivo? La derivada es positiva cuando una función crece hacia un máximo, cero (horizontal) en el máximo y negativa justo después del máximo.