En matemáticas, un subconjunto de un espacio topológico se llama en ninguna parte denso o raro si su cierre tiene un interior vacío. En un sentido muy amplio, es un conjunto cuyos elementos no están muy agrupados en ninguna parte. Por ejemplo, los números enteros no son densos en ninguna parte entre los reales, mientras que una bola abierta no lo es.
¿1 N no es denso en ninguna parte?
Un ejemplo de un conjunto que no es cerrado pero que aún no es denso en ninguna parte es {1n|n∈N}. Tiene un punto límite que no está en el conjunto (es decir, 0), pero su cierre todavía no es denso porque ningún intervalo abierto cabe dentro de {1n|n∈N}∪{0}.
¿Cómo se prueba que un conjunto no es denso en ninguna parte?
Un subconjunto A ⊆ X se llama en ninguna parte denso en X si el interior de la clausura de A está vacío, es decir, (A)◦ = ∅. Dicho de otro modo, A no es denso en ninguna parte si y solo si está contenido en un conjunto cerrado con interior vacío. Pasando a los complementos, podemos decir de manera equivalente que A no es denso en ninguna parte si y solo si su complemento contiene un conjunto abierto denso (¿por qué?
).
¿Qué significa en todas partes denso?
Un subconjunto A de un espacio topológico X es denso para el cual el cierre es todo el espacio X (algunos autores usan la terminología en todas partes denso). Una definición alternativa común es: un conjunto A que interseca a todos los subconjuntos abiertos no vacíos de X.
¿Está abierto todo conjunto denso?
Un espacio topológico X está hiperconectado si y solo si todo conjunto abierto no vacío es denso en X. Un espacio topológico es submáximo si y solo si todo subconjunto denso es abierto.
¿Por qué Q es denso en R?
Teorema (Q es denso en R). Para todo x, y ∈ R tal que x